전자가 방출하는 파장은 뤼드베리 공식을 통해 구할 수 있다. 아래는 뤼드베리 공식과 n≥2n \geq 2에서 n=1n = 1으로 준위가 떨어질 때 방출되는 빛의 파장인 라이먼 계열과 n≥4n \geq 4에서 n=3n = 3으로 변화하는 파센 계열의 방출 파장을 정리한 것이다.

1λ=R(1m2−1n2){R=1.0973731568539×107m−1}\dfrac{1}{\lambda} = R(\dfrac{1}{m^2} - \dfrac{1}{n^2}) \hspace{10pt} \{ R=1.0973731568539 \times 10^7 m^{-1} \}
뤼드베리 공식: 이걸 도데체 어떻게 알아낸거야?
라이먼 계열의 방출 파장
n2345678
nm121.50102.5197.2094.9293.7393.0292.57
파센 계열의 방출 파장
n45678
nm1,874.601,281.461,093.521,004.67954.34

언뜻 보면 같은 계열 사이에서는 수치가 줄어드는 규칙이 있는 듯하지만 다른 계열 사이에서는 어떤 방식으로 값이 변화하는지 알아보기 힘들다. 4에서 5로 가는 수치가 둘 사이에 차이가 있다는 이야기이다. 우리는 n 껍질 사이의 공간이 일정한 수치가 되는 것을 원한다. 가설을 뒷받침하기 위해서는 그것이 동일한 빛-에테르여야 하기 때문이다. 라이먼 계열의 파장을 그 역수인 파수로 바꾸어 표현하면 아래와 같다.

라이먼 계열의 방출 파수
n2345678
cm-182,302.9897,544.28102,878.73105,347.82106,689.05107,497.77108,022.67

파수의 간극을 보기로 하자. 즉, 2번에서 1번으로, 4번에서 3번으로 이동할 때의 값을 살펴보는 것이다.

라이먼 계열의 파수 차이
n3→23 \to 24→34 \to 35→45 \to 46→56 \to 57→67 \to 68→78 \to 7
cm-115,241.295,334.452,469.081,341.23808.72524.89
파센 계열의 파수 차이
n5→45 \to 46→56 \to 57→67 \to 68→78 \to 7
cm-12,469.081,341.23808.72524.89

파수의 차이는 두 계열에서 동일하다. n 껍질 사이의 공간에 특정한 에너지가 에테르의 형태로 보존된다는 가설을 뒷받침해 준다. 각 껍질과 껍질 사이에 해당하는 광자-에테르는 일정한 에너지를 가지고 있고, 딱 그 에너지만큼의 광자-스파클로 전환되어 방출되는 것으로 해석할 수 있다. 이제 에너지의 흡수와 방출은 덧셈이 되었다.

광자-에테르의 방출 에너지

광자-에테르가 일정한 파장을 가지고 있다면 그 에너지를 구할 수 있을 것이다. 빛의 에너지는 E=hc/λE = hc / λ의 식으로 구할 수 있다. 여기서 λ는 앞서 구한 파수를 의미하며, 이렇게 구한 값은 J의 단위를 가진다. 이를 eV를 단위로 갖는 에너지 값은 아래의 수식과 같으며, 이를 정리하면 아래의 표와 같다.

E=Rhc(1(n−1)2−1n2)⋅6.242⋅1032E = Rhc(\dfrac{1}{(n - 1)^2} - \dfrac{1}{n^2})\cdot6.242\cdot10^{32}

뤼드베리 상수, 플랑크 상수, 빛의 속도는 모두 상수이니까,

E=1.0973731568539⋅10−7⋅6.62607015⋅10−34⋅299792458⋅(1(n−1)2−1n2)⋅6.242⋅1032E = 1.0973731568539 \cdot 10^{-7} \cdot 6.62607015 \cdot 10^{-34} \cdot 299792458 \cdot (\dfrac{1}{(n - 1)^2} - \dfrac{1}{n^2}) \cdot 6.242 \cdot 10^{32}
E=13.60676328⋅(1(n−1)2−1n2)E = 13.60676328 \cdot (\dfrac{1}{(n - 1)^2} - \dfrac{1}{n^2})
뤼드베리 방정식을 이용해 에너지(eV)를 구하는 공식
그렇게 구한 에너지
n2→12 \to 13→23 \to 24→34 \to 35→45 \to 46→56 \to 57→67 \to 68→78 \to 7
eV10.20501.88980.66140.30610.16630.10020.0650

보어 원자 모형과 수소 원자의 슈뢰딩거 방정식에서 n 껍질의 에너지는 다음의 수식을 만족한다.

En=−ℏ22μa021n2E_n = -\frac{ℏ^2}{2 \mu a_0 ^ 2} \frac{1}{n^2}

여기서 1n2\dfrac{1}{n^2}을 (1(n−1)2−1n2)(\dfrac{1}{(n - 1)^2} - \dfrac{1}{n^2})로 치환하고, J를 eV로 변환하면 위에서 구한 값과 일치하는 것을 알 수 있다.

ℏ22μa02(1(n−1)2−1n2){n≧2}\frac{ℏ^2}{2 \mu a_0 ^ 2} (\dfrac{1}{(n - 1)^2} - \dfrac{1}{n^2}) \hspace{10pt} \{ n \geqq 2 \}
n2→12 \to 13→23 \to 24→34 \to 35→45 \to 46→56 \to 57→67 \to 68→78 \to 7
1st values10.20501.88980.66140.30610.16630.10020.0650
2nd values10.20091.88900.66110.30600.16620.10020.0650
광자 에테르의 뤼드베리 값
광자 에테르의 뤼드베리 값이제 덧셈이 되었다.

그림에서 볼 수 있듯, 이제 에테르가 가진 에너지는 덧셈으로 쉽게 구할 수 있게 되었다. 에너지, 파장, 심지어는 질량 마저도 구할 수 있게 되었다.

정리

여기서 한 이야기는 모두 너무 당연한 이야기이다. 고전물리 교과서 잠깐만 보면 모두 알 수 있는 내용이다. 이건 한 세기도 전인 닐스 보어 시대에도 수소 원자에서 당연하게 딱딱 맞는 내용이다. 그러나 다전자 원자에서는 하나도 맞지 않는다. 여러분은 낚였다.

여기서 내가 원하는 것은 에테르-스파클 가설이 설득력을 가질 수 있는 조건을 제시하는 것이다.

  • 첫째, 광자-에테르가 가진 에너지는 예상 가능해야 한다.
  • 둘째, 광자-에테르가 가진 에너지는 덧셈에 의해 구할 수 있어야 한다.
  • 셋째, 위 조건은 다전자 원자에서도 성립 해야한다.

위 조건을 만족한다면, 광자라는 스파클이 광자-에테르의 형태로 원자 속에 저장된다는 것을 증명할 수 있을 것이다. 다음 장에서는 다전자 원자에 대해 다루고자 한다.